Question

16．如圖，等腰梯形AEBC中，EF是高，經(jīng)過點(diǎn)F作GF⊥AC，點(diǎn)G為垂足，2FG=AC，且DF⊥GF．
（1）求證：DF=FG；
（2）如果GF=3GC，求CF：BF的值．

Answer 1

分析 （1）首先通過余角的性質(zhì)證得∠C=∠EFG，然后根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)證得∠EFG=∠B，進(jìn)一步證得∠DFB=∠B，得出DF=DB，進(jìn)而證得∠BEF=∠EFD，得出DF=ED，從而得出2DF=BE，然后根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)赫爾已知條件即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理求得CF=$\sqrt{10}$GC，進(jìn)一步求得AC=6GC，證得△FGC∽△EFB，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求得FB=$\frac{EB}{\sqrt{10}}$=$\frac{6GC}{\sqrt{10}}$，即可求得CF：FB=5：3．

解答 （1）證明：∵等腰梯形AEBC中，EF是高，
∴∠B=∠C，∠EFC=∠EFG+∠GFC=90°，∠EFD+∠DFB=90°，
∵GF⊥AC，
∴∠C+∠GFC=90°，
∴∠C=∠EFG，
∴∠EFG=∠B，
∵DF⊥GF，
∴∠EFG+∠EFD=90°，
∴∠DFB=∠EFG，
∴∠DFB=∠B，
∴DF=DB，
∵∠BEF+∠B=90°，
∴∠BEF=∠EFD，
∴DF=ED，
∴2DF=BE，
∵2FG=AC，AC=BE，
∴DF=FG；
（2）解：在RT△GCF中，GF=3GC，
∴CF=$\sqrt{G{F}^{2}+G{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$GC，
∵2FG=AC，
∴AC=6GC，
∴EB=6GC，
∵∠C=∠B，∠FGC=∠EFB=90°，
∴△FGC∽△EFB，
∴$\frac{EB}{FB}$=$\frac{CF}{GC}$=$\sqrt{10}$，
∴FB=$\frac{EB}{\sqrt{10}}$=$\frac{6GC}{\sqrt{10}}$，
∴$\frac{CF}{FB}$=$\frac{\sqrt{10}GC}{\frac{6GC}{\sqrt{10}}}$=$\frac{5}{3}$．
∴CF：FB=5：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．