Question

6．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于（x₁，0），（x₂，0）兩點(diǎn)，且0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，與y軸交于（0，-2）．下列結(jié)論：①2a+b＞1； ②a+b＞2；③a-b＜2；④3a+b＞0； ⑤a＜-1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 首先根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向判斷出a的符號(hào)，再根據(jù)與y軸交點(diǎn)求出c=-2，
①將x=2代入原方程，可知此時(shí)y＜0，再根據(jù)c=-2即可求出2a+b＜1；
②當(dāng)x=1時(shí)，y＞0，易得a+b+c＞0，可得c=-2，可得結(jié)論；
③將x=-1代入y=a-b+c＜0，結(jié)合c=-2，可知a-b＜-c，即得a-b＜2；
④根據(jù)0＜x₁＜1，1＜x₂＜2判斷出1＜x₁+x₂＜3，再根據(jù)x₁+x₂=-$\frac{a}$，判斷出1＜-$\frac{a}$＜3，可知3a+b＜0；
⑤根據(jù)0＜x₁x₂＜2和x₁x₂=$\frac{c}{a}$＜2，求出c=-2，可判斷a＜-1．

解答 解：如圖：
0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，并且圖象與y軸相交于點(diǎn)（0，-2），
可知該拋物線開(kāi)口向下即a＜0，c=-2，
①當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c＜0，即4a+2b＜-c；
∵c=-2，
∴4a+2b＜2，
∴2a+b＜1，
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②∵當(dāng)x=1時(shí)，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c=-2，
∴a+b-2＞0，故此選項(xiàng)正確；
③當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c＜0，
∵c=-2，
∴a-b＜-c，
即a-b＜2，
故本選項(xiàng)正確；
④∵0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴1＜x₁+x₂＜3，
又∵x₁+x₂=-$\frac{a}$，
∴1＜-$\frac{a}$＜3，
∴3a+b＜0，
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
⑤∵0＜x₁x₂＜2，x₁x₂=$\frac{c}{a}$＜2，
又∵c=-2，
∴a＜-1．
故本選項(xiàng)正確；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)及二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)圖象找到所需的條件，同時(shí)利用根與系數(shù)的關(guān)系及不等式的性質(zhì)是解題的基本思路．