Question

16．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（m，n），若點A′（m，n′）的縱坐標(biāo)滿足n′=$\left\{\begin{array}{l}m-n（m≥n）\\ n-m（n＞m）\end{array}$，則稱點A′是點A的“絕對點”．
（1）點（1，2）的“絕對點”的坐標(biāo)為（1，1）．
（2）點P是函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上的一點，點P′是點P的“絕對點”．若點P與點P′重合，求點P的坐標(biāo)．
（3）點Q（a，b）的“絕對點”Q′是函數(shù)y=2x²的圖象上的一點．當(dāng)0≤a≤2 時，求線段QQ′的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“絕對點”的定義求解可得；
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n）．若m≥n，則P′的坐標(biāo)為（m，m-n），根據(jù)P與P′重合知n=m-n，由mn=2求得m、n的值可得；若m＜n，則P′的坐標(biāo)為（m，n-m）．可得m=0，舍去；
（3）當(dāng)a≥b時，Q′的坐標(biāo)為（a，a-b），由Q′是函數(shù)y=2x²的圖象上一點知a-b=2a²，即b=a-2a ²．可得QQ′=|a-b-b|=|a-2（a-2a²）|=|4a²-a|，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出其最大值；當(dāng)a＜b時，Q′的坐標(biāo)為（a，b-a），知QQ′=|b-b+a|=|a|，顯然可得其最值．

解答 解：（1）∵2＞1，
∴點（1，2）的“絕對點”的縱坐標(biāo)為2-1=1，
則點（1，2）的“絕對點”的坐標(biāo)為（1，1），
故答案為：（1，1）． 

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n）．
當(dāng)m≥n時，P′的坐標(biāo)為（m，m-n）．
若P與P′重合，則n=m-n，
又mn=2．
所以n=±1．
即P的坐標(biāo)為（2，1）或（-2，-1）．
又（-2，-1）不符合題意，舍去，
所以P的坐標(biāo)為（2，1）．
當(dāng)m＜n時，P′的坐標(biāo)為（m，n-m）．可得m=0，舍去．
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（2，1）．

（3）當(dāng)a≥b時，Q′的坐標(biāo)為（a，a-b）．
因為Q′是函數(shù)y=2x²的圖象上一點，
所以a-b=2a²．
即b=a-2a ²．
QQ′=|a-b-b|=|a-2（a-2a²）|=|4a²-a|，
其函數(shù)圖象如圖所示：
．
由圖象可知，當(dāng)a=2時，QQ′的最大值為14．
當(dāng)a＜b時，Q′的坐標(biāo)為（a，b-a）．
QQ′=|b-b+a|=|a|．
當(dāng)a=2時，QQ′的最大值為2．
綜上所述，Q Q′的最大值為14或2．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，理解“絕對點”的定義及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．