Question

14．已知：E、F分別是矩形ABCD的邊AD、CD上一點(diǎn)，且DF=CF，∠DEF=2∠CBF，若AB=4，BC=5，則AE=$\frac{29}{10}$．

Answer 1

分析 在矩形ABCD中，AD=BC，∠D=∠C=90°，通過三角形全等得到∠DAF=∠FBC，因?yàn)椤螪EF=2∠FBC，推出∠DEF=2∠DAF，根據(jù)外角的性質(zhì)證得等腰三角形，再根據(jù)勾股定理列方程求解．

解答  解：如圖，連接AF，
在矩形ABCD中，
∵AD=BC，∠D=∠C=90°，
在△ADF與△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠D=∠C}\\{CF=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCF，
∴∠DAF=∠FBC，
∵∠DEF=2∠FBC，
∴∠DEF=2∠DAF，
∵∠DEF=∠DAF+∠EFA，
∴∠DAF=∠EFA，
∴AE=EF，
設(shè)AE=EF=x，則DE=5-x，
∴x²=（5-x）²+2²，
解得：x=$\frac{29}{10}$，
∴AE=$\frac{29}{10}$．
故答案為：$\frac{29}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)勾股定理的應(yīng)用，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．