Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（0，1），拋物線y=ax²+bx+c的頂點為坐標(biāo)原點O，且與直線y=2x-4有唯一交點B．
（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{1}{4}$x²；
（2）如圖1，設(shè)直線y=2x-4與y軸交于點D，點P是拋物線上一點．
①過點P作PE∥y軸，交直線BD于點E，若△ADE與△ABD相似，求點P的坐標(biāo)；
②將△ABD沿直線BD折疊后，點A落在點C處（圖2），是否存在點P，使得S_△PCD=3S△_PAB？如果存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）拋物線y=ax²+bx+c的頂點為坐標(biāo)原點O，則b=c=0，與直線y=2x-4有唯一交點B，則根據(jù)根的判別式即可求解；
（2）求得D的坐標(biāo)，利用三角形相似，則E的坐標(biāo)即可求得，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)；
（3）首先求得C的坐標(biāo)，證明AB與CD平行且相等，則P在經(jīng)過點（0，-$\frac{1}{4}$）且平行于AB的直線上，求得直線的解析式，然后解方程求解．

解答 解：（1）拋物線y=ax²+bx+c的頂點為坐標(biāo)原點O，則b=c=0，
根據(jù)題意得：ax²=2x-4，
即ax²-2x+4=0，
△=4-16a=0，
解得：a=$\frac{1}{4}$，
則拋物線的解析式是：y=$\frac{1}{4}$x²；

（2）①在y=2x-4中，令x=0，解得：y=-4，則D的坐標(biāo)是（0，-4）．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
則B的坐標(biāo)是（4，4）．
由于△ADE與△ABD相似，那么只可能是△ADE∽△BDA，作圖可知E在BD線段上，
則有$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{AD}$，設(shè)E（x，2x-4），則有DE=$\sqrt{{x}^{2}+（2x-4-（-4））^{2}}$=$\sqrt{5}x$；
又易求BD=$4\sqrt{5}$，AD=5；
故由AD²=BD×DE可求得x=$\frac{5}{4}$，再將x=$\frac{5}{4}$代入拋物線方程求得y=$\frac{25}{64}$；
即P點的坐標(biāo)為（$\frac{5}{4}$，$\frac{25}{64}$）．
②設(shè)經(jīng)過點A與BD垂直的直線的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+c，
把（0，1）代入得：c=1，則解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+1，
設(shè)C的坐標(biāo)是（m，-$\frac{1}{2}$m+1），則AC的中點坐標(biāo)是（$\frac{m}{2}$，$\frac{-\frac{1}{2}m+1+1}{2}$），即（$\frac{m}{2}$，-$\frac{1}{4}$m+1），代入y=2x-4得：m-4=-$\frac{1}{4}$m+1，
解得：m=4．
則C的坐標(biāo)是（4，-1）．
作BN⊥y軸于點N，作CM⊥y軸于點M．則M的坐標(biāo)是（0，-1），N的坐標(biāo)是（0，4）．
則在直角△ABN和直角△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BN=CM}\\{AN=DM}\end{array}\right.$，
∴直角△ABN≌直角△DCM（HL），
∴∠BAN=∠CDM，AB=CD，
∴AB∥CD．
∵S_△PCD=3S△_PAB，
在線段AD上的點E，使DE=3AE，則E的坐標(biāo)是（0，-$\frac{1}{4}$），
設(shè)AB的解析式是y=mx+n，根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{4m+n=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{m=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
則經(jīng)過（0，-$\frac{1}{4}$）且平行與AB的直線的解析式是y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{1}{4}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{7+3\sqrt{5}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{7-3\sqrt{5}}{8}}\end{array}\right.$，
則P的坐標(biāo)是（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7+3\sqrt{5}}{8}$）或（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7-3\sqrt{5}}{8}$）．
在DA的延長線上，到D和A的距離是1：3的點是（0，$\frac{7}{2}$），
則過（0，$\frac{7}{2}$）且平行與AB的直線的解析式是y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{2}$．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{65}}{2}}\\{y=\frac{37+3\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{65}}{2}}\\{y=\frac{37-3\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$，
則P的坐標(biāo)是（$\frac{3+\sqrt{65}}{2}$，$\frac{37+3\sqrt{65}}{8}$）或（$\frac{3-\sqrt{65}}{2}$，$\frac{37-3\sqrt{65}}{8}$）．
總之，P的坐標(biāo)是（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7+3\sqrt{5}}{8}$）或（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7-3\sqrt{5}}{8}$）或（$\frac{3+\sqrt{65}}{2}$，$\frac{37+3\sqrt{65}}{8}$）或（$\frac{3-\sqrt{65}}{2}$，$\frac{37-3\sqrt{65}}{8}$）．

法二②：如圖
∵BC=AB=5=AD=CD，故易證四邊形ABCD為菱形，
由于S_△PCD=3S△_PAB，AB∥CD且AB=CD，所以存在直線l上的所有點都符合題目要求，l∥AB∥CD，且l與CD的距離是l與AB距離的三倍；
設(shè)P點在直線y=$\frac{3}{4}$x+b上，且與y軸相交于Q點，當(dāng)QD=3QA時，Q的坐標(biāo)為（0，$-\frac{1}{4}$）或Q'（0，$\frac{7}{2}$）；
求得l'的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{1}{4}$，聯(lián)立拋物線方程解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{7+3\sqrt{5}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{7-3\sqrt{5}}{8}}\end{array}\right.$；
l''的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{2}$，聯(lián)立拋物線方程解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{65}}{2}}\\{y=\frac{37+3\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{65}}{2}}\\{y=\frac{37-3\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$；
綜上：P的坐標(biāo)是（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7+3\sqrt{5}}{8}$）或（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7-3\sqrt{5}}{8}$）或（$\frac{3+\sqrt{65}}{2}$，$\frac{37+3\sqrt{65}}{8}$）或（$\frac{3-\sqrt{65}}{2}$，$\frac{37-3\sqrt{65}}{8}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及直線垂直和平行的條件，判斷AB與CD平行且相等是解題的關(guān)鍵．