Question

19．已知：如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）與一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象交于A（3，1）、B（m，-3）兩點．
（1）求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）與一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的解析式．
（2）若點P是直線y=ax+b（a≠0）上一點，且△OPA的面積為1，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）先把A點坐標代入反比例函數(shù)解析式，求得k的值，得到反比例函數(shù)解析式；再把B點坐標代入反比例函數(shù)解析式求得m的值，然后把A，B兩點坐標分別代入一次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；
（2）先求出直線AB：y=x-2與x軸交點C的坐標，根據(jù)三角形的面積公式求出S_△OCA=$\frac{1}{2}$×2×1=1=S_△OPA，那么P與C重合，即P（2，0）；再由三角形的中線將三角形的面積平分，得出P′與C關(guān)于A成中心對稱，即A為CP′的中點，根據(jù)中點坐標公式求出P′點的坐標．

解答 解：（1）∵點A（3，1）在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{x}$；
又∵點B（m，-3）在y=$\frac{3}{x}$的圖象上，
∴m=-1，
∴點B的坐標為（-1，-3），
把A（3，1）和B（-1，-3）兩點的坐標代入y=ax+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=1}\\{-a+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析為y=x-2；

（2）設(shè)直線AB：y=x-2與x軸交于點C，則C（2，0）．
∵S_△OCA=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
∴P與C重合，即P（2，0）；
∵三角形的中線將三角形的面積平分，
∴當AP′=AC=$\frac{1}{2}$P′C時，S_△OP′A=S_△OCA=1，
此時P′與C關(guān)于A成中心對稱，即A為CP′的中點，
∵A（3，1），C（2，0），
∴P′點的坐標為（2×3-2，2×1-0），即（4，2）．
綜上所述，所求點P的坐標為（2，0）或（4，2）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一函數(shù)的交點問題，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，中點坐標公式等知識，準確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．