Question

在平面直角坐標系xOy中，等腰△OAD的底邊OA在x軸上，頂點D（2，-4a）（a≠0），拋物線y=a²+bx+c經(jīng)過O，A，D三點．
（1）求點A的坐標；
（2）以點D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分．若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在⊙D內(nèi)，且翻折后的劣弧所在圓的圓心在⊙D上．求⊙D的半徑長和拋物線的解析式．
（3）設(shè)點B是滿足（2）中條件的優(yōu)弧上的一個動點，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點P，使得∠POA=

3

4

∠OBA？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱性可知點D為拋物線的頂點，故拋物線的解析式為y=a（x-2）²-4a=ax²-4ax（a≠0），再把y=0代入即可得出x的值，進而得出A點坐標；
（2））當a＞0時，設(shè)⊙D被x軸分得的劣弧為OmA，它沿x軸翻折后所得劣弧為OnA，顯然OnA所在圓與⊙D關(guān)于x軸對稱，設(shè)它的圓心為D′，由OD=DD′=OD′可知△ODD′為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠DOA的度數(shù)及OM的長，由銳角三角函數(shù)的定義求出a的值，進而可得出拋物線的解析式；
當a＜0時，同理可得DM與OD的長，進而得出拋物線的解析式；
（3）設(shè)點P的坐標為（x，y），且y＞0，當點P在拋物線y=

3

6

x²-

2 3

3

x上時，根據(jù)點B是⊙D的優(yōu)弧上的一點，根據(jù)圓周角定理可知∠OBA=

1

2

∠ADO，由圓心角、弧的關(guān)系可得∠POA的度數(shù)，過點P作PE⊥x軸于點E，由銳角三角函數(shù)的定義可求出tan∠POE的度數(shù)，故y=x，再聯(lián)立y=x與拋物線的解析式可得出x、y的值，進而得出P點坐標；當點P在拋物線y=-

3

6

x²+

2 3

3

x上時，同理可得y=x，再聯(lián)立y=x與拋物線的解析式可得出x、y的值，進而得出P點坐標．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱性可知點D為拋物線的頂點，
∴拋物線的解析式為y=a（x-2）²-4a=ax²-4ax（a≠0），
當y=0時，0=ax²-4ax，
解得x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0）； 

（2）①當a＞0時．
如圖1，設(shè)⊙D被x軸分得的劣弧為OmA，它沿x軸翻折后所得劣弧為OnA，顯然OnA所在圓與⊙D關(guān)于x軸對稱，設(shè)它的圓心為D′．
∴點D′與點D也關(guān)于x軸對稱
∴DD′⊥OA，
∵點O在⊙D′上，且點D′在⊙D上
∴OD=DD′=OD′，
∴△ODD′為等邊三角形，
∴∠DOD′=60°，
∵DD′⊥OA，OD=AD，
∴∠DOA=

1

2

∠DOD′=

1

2

×60°=30°，OM=

1

2

OA=

1

2

×4=2，
設(shè)DD′與x軸的交點為M，即∠DOM=30°，
∴DM=OM•tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

，OD=2DM=

4 3

3

，
∴點D的縱坐標為-

2 3

3

，
∴-4a=-

2 3

3

，
∴a=

3

6

，
∴拋物線的解析式為y=

3

6

x²-

2 3

3

x，
②當a＜0時．
同理可得DM=

2 3

3

，OD=

4 3

3

，
∴拋物線的解析式為y=-

3

6

x²+

2 3

3

x，
綜上，⊙D的半徑長為

4 3

3

，
拋物線的解析式為y=

3

6

x²-

2 3

3

x或y=-

3

6

x²+

2 3

3

x；

（3）拋物線x軸上方的部分上存在點P，使得∠POA=

3

4

∠OBA，
設(shè)點P的坐標為（x，y），且y＞0
①當點P在拋物線y=

3

6

x²-

2 3

3

x上時，如圖．
∵點B是⊙D的優(yōu)弧上的一點，
∴∠OBA=

1

2

∠ADO，
∵∠ADO=60°×2=120°，
∴∠OBA=60°，
∴∠POA=

3

4

∠OBA=45°，
過點P作PE⊥x軸于點E，
∴tan∠POE=

EP

OE

，
∴

y

x

=tan45°，
∴y=x，
由

y=x y= 3 6 x2- 2 3 3 x

解得

x1=4+2 3 y1=4+2 3

或

x2=0 y2=0

（舍去）．
∴點P的坐標為（4+2

3

，4+2

3

）；
②當點P在拋物線y=-

3

6

x²+

2 3

3

x上時．
同理可得y=x，
則

y=x y=- 3 6 x2+ 2 3 3 x

，
解得

x1=4-2 3 y1=4-2 3

，

x2=0 y2=0

（舍去），
∴點P的坐標為（4-2

3

，4-2

3

）．
綜上，存在滿足條件的點P，點P的坐標為（4+2

3

，4+2

3

）或（4-2

3

，4-2

3

）．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義、等邊三角形的性質(zhì)等知識，難度較大．