Question

3．如圖，在?ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，BG⊥AC于點(diǎn)G，DH⊥AC于點(diǎn)H，連接EH、HF、FG、GE，那么四邊形EHFG是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：BO=DO，AO=CO，再證明△ABE≌△CDF，△ABG≌△CDH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：BE=DF，AG=CH，從而得到GO=HO，EO=FO，再利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證出四邊形GEHF是平行四邊形．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=DO，AO=CO，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABE=∠CDF}\\{∠AEB=∠CFD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∴BO-BE=DO-DF，
即：EO=FO，
同理：△ABG≌△CDH，
∴AG=CH，
∴AO-AG=CO-CH，
即：GO=OH，
∴四邊形GEHF是平行四邊形．
方法二：直接證明△BOG≌△DOH，△AOE≌△COF比較簡(jiǎn)單．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABE≌△CDF，△ABG≌△CDH，證出BE=DF，AG=CH是解決此題的關(guān)鍵．