Question

12．若一個三位整數(shù)，百位上數(shù)字的2倍加上十位上數(shù)字的3倍，再加上個位上數(shù)字所得的和能被7整除，則稱這個整數(shù)為“勞動數(shù)”．
例如：判斷210是“勞動數(shù)”的過程如下：2×2+3×1+0=7，∵7能被7整除，∴210是“勞動數(shù)”；
判斷322是“勞動數(shù)”的過程如下：2×3+3×2+2=14，∵14能被7整除，∴322是“勞動數(shù)”；
（1）直接寫出最小的“勞動數(shù)”為105，并請用上面的方法判斷448是否為“勞動數(shù)”；
（2）試證明：所有的“勞動數(shù)”均能被7整除．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“勞動數(shù)”的定義及三位數(shù)的特點即可得出結(jié)論；
（2）先設(shè)出三位數(shù)，然后判斷出此三位數(shù)除以7的商是整數(shù)即可．

解答 解：（1）∵“勞動數(shù)”是三位數(shù)，而三位數(shù)要最小，百位最小是1，十位最小是0，
設(shè)這個最小的“勞動數(shù)”為a，
由“勞動數(shù)”的定義得，1×2+3×0+a=2+a，
∴2+a能被7整除，且要最小，
∴2+a=7，
∴a=5，
∴最小的“勞動數(shù)”為 105，
故答案為：105；
∵2×4+3×4+8=28，而28能被7整除，
∴448是“勞動數(shù)”；

（2）設(shè)一個“勞動數(shù)”為$\overline{abc}$，
∴2a+3b+c能被7整除，
∴2a+3b+c是7的倍數(shù)，
∴$\frac{100a+10b+c}{7}$=$\frac{98a+2a+7b+3b+c}{7}$=$\frac{（98a+7b）+（2a+3b+c）}{\;}$=14a+b+$\frac{2a+3b+c}{7}$，
∵a，b，$\frac{2a+3b+c}{7}$是整數(shù)，
∴“勞動數(shù)”為$\overline{abc}$能被7整除．

點評 此題主要考查了三位數(shù)的表示，整除問題，新定義，解本題的關(guān)鍵是理解和應(yīng)用新定義“勞動數(shù)”．