Question

20．在美國的一堂數(shù)學課上，老師給同學們布置了一道“任意等分一條線段”的題．其中有一個學生用了一種與眾不同的方法．他在紙上做出了如圖所示的一個圖形，他以老師給的已知線段AB為一條邊作矩形ABCD，設AC、BD交于點O₂，作O₂P₂⊥AB，則垂足P₂就是AB的二等分點：連接CP₂交BD于點O₃，作O₃P₃⊥AB，則垂足P₃就是AB的三等分點；再依次做下去，就得到AB的四等分點，…n等分點．你能用所學過的知識解釋其中的緣由嗎？

Answer 1

分析 根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得到∠DAB=90°，AB=CD，DO₂=BO₂，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到BP₂=AP₂，于是得到垂足P₂就是AB的二等分點，根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{B{O}_{3}}{D{O}_{3}}$=$\frac{B{P}_{2}}{CD}$=$\frac{1}{2}$，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AP₃=2BP₃，于是得到垂足P₃就是AB的三等分點；于是得到結論．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，AB=CD，DO₂=BO₂，
∵O₂P₂⊥AB，
∴O₂P₂∥AB，
∴$\frac{B{O}_{2}}{D{O}_{2}}=\frac{B{P}_{2}}{A{P}_{2}}$=1，
∴BP₂=AP₂，
∴垂足P₂就是AB的二等分點，
∵AB∥CD，
∴△CDO₃∽△BP₂O₃，
∴$\frac{B{O}_{3}}{D{O}_{3}}$=$\frac{B{P}_{2}}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∵O₃P₃⊥AB，
∴O₃P₃∥AD，
∴$\frac{B{P}_{3}}{A{P}_{3}}$=$\frac{B{O}_{3}}{D{O}_{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴AP₃=2BP₃，
∴垂足P₃就是AB的三等分點；
∴再依次做下去，就得到AB的四等分點，…n等分點．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理．矩形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．