Question

10．如圖，在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，對角線AC與BD相交于O，AE⊥BD，垂足為E，且BE：ED=1：3．求AE的長．

Answer 1

分析 先由矩形的性質(zhì)和已知條件得出BE=OE，△ABO是等邊三角形，得出BE，由勾股定理求出AE即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=AO，
∵BE：ED=1：3，
∴BE=OE，
∵AE⊥BC，
∴AB=AO，∠AEB=90°，
∴OB=AO=AB=2$\sqrt{3}$，
即△AOB是等邊三角形，
∴BE=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3；

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)；證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．