Question

4．如圖，已知，點(diǎn)C是∠FAE的平分線AC上一點(diǎn)，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F為垂足，點(diǎn)B在AE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在AF，若AB=21，AD=9，BC=DC=10，則AE的長(zhǎng)為15．

Answer 1

分析 欲求AE的長(zhǎng)度，需要通過證全等三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，創(chuàng)設(shè)條件證出線段相等，進(jìn)而求得AE的長(zhǎng)，使問題得以解決．

解答 解：∵點(diǎn)C是∠FAE的平分線AC上一點(diǎn)，CE⊥AE，CF⊥AF，
∴CF=CE．
在△ACF與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{∠AFC=∠AEC=90°}\\{AC=AC\\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ACE（SAS），
∴AF=AE．
在Rt△CDF與Rt△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴DF=BE．
設(shè)DF=BE=a，則AE=21-a，AF=9+a，
由勾股定理得到：（21-a）²+CF²=（9+a）²+CE²，
21²-42a+a²=81+18a+a²，
解得 a=6．
∵CB=10，BE=6
∴勾股定理得到：CE=8．
∴AE=21-6=15．
故答案是：15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．