Question

14．如圖，已知PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)．直徑AC的延長線與PB的延長線交于點(diǎn)D．
（1）求證：∠APB=2∠CBD；
（2）若∠CBD=30°，BD=2$\sqrt{3}$．求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號與π）．

Answer 1

分析 （1）連接OP，AB，根據(jù)AP，BP是⊙O的切線，由切線長定理得到AP=BP，OP平分∠APB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一得到OP⊥AB，再根據(jù)AC是⊙O的直徑，得到∠ABC=90° 即：AB⊥BC，BC∥OB，得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由等量代換得到結(jié)果；
（2）根據(jù)切線長定理和三角形全等S_△OAP=S_△OBP，通過解直角三角形得到OB，PB，再根據(jù)三角形的面積和扇形的面積推出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OP，AB，
∵AP，BP是⊙O的切線，
∴AP=BP，OP平分∠APB，
∴OP⊥AB，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90° 即：AB⊥BC，
∴BC∥OB，
∴∠CBD=∠1，
∴∠APB=2∠1，
∴∠APB=2∠CBD；

（2）解：連接OB，
∵∠CBD=30°，
∴∠1=30°，
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，
在△OAP與△OBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{∠OAP=∠OBP}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBP，
∴S_△OAP=S_△OBP，
在R_t△ODB中，∠2=60°，
∴OB=$\frac{BD}{tan∠2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{tan60°}$=2，
在R_t△OBP中，PB=$\frac{OB}{tan∠1}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△OBP=$\frac{1}{2}$OB•PB=2$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形OAPB}=S_△OAP+S_△OBP=2S_△OBP=4$\sqrt{3}$，
∵∠2=60°，
∴∠AOB=120°，
S_扇形AOB=$\frac{120•π{•OB}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，
∴所求的陰影面積：S=S_{四邊形OAPB}-S_扇形AOB4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．