Question

18．某商店通過調低價格的方式促銷n個不同的玩具，調整后的單價y（元）與調整前的單價x（元）滿足一次函數(shù)關系，如表：

	第1個	第2個	第3個	第4個	…	第n個
調整前的單價x（元）	x1	x2=6	x3=72	x4	…	xn
調整后的單價y（元）	y1	y2=4	y3=59	y4	…	yn

已知這n個玩具調整后的單價都大于2元．
（1）求y與x的函數(shù)關系式，并確定x的取值范圍；
（2）某個玩具調整前單價是108元，顧客購買這個玩具省了多少錢？
（3）這n個玩具調整前、后的平均單價分別為$\overline{x}$，$\overline{y}$，猜想$\overline{y}$與$\overline{x}$的關系式，并寫出推導過程．

Answer 1

分析 （1）設y=kx+b，根據(jù)題意列方程組即可得到結論，再根據(jù)已知條件得到不等式于是得到x的取值范圍是x＞$\frac{18}{5}$；
（2）將x=108代入y=$\frac{5}{6}$x-1即可得到結論；
（3）由（1）得y₁=$\frac{5}{6}$x₁-1，y₂=$\frac{5}{6}$x₂-2，…y_n=$\frac{5}{6}$x_n-1，根據(jù)求平均數(shù)的公式即可得到結論．

解答 解：（1）設y=kx+b，由題意得x=6，y=4，x=72，y=59，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=6k+b}\\{59=72k+b}\end{array}\right.$
，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{6}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴y與x的函數(shù)關系式為y=$\frac{5}{6}$x-1，
∵這n個玩具調整后的單價都大于2元，
∴$\frac{5}{6}$x-1＞2，解得x＞$\frac{18}{5}$，
∴x的取值范圍是x＞$\frac{18}{5}$；

（2）將x=108代入y=$\frac{5}{6}$x-1得y=$\frac{5}{6}$×108-1=89，
108-89=19，
答：顧客購買這個玩具省了19元；

（3）$\overline{y}$=$\frac{5}{6}$$\overline{x}$-1，
推導過程：由（1）得y₁=$\frac{5}{6}$x₁-1，y₂=$\frac{5}{6}$x₂-1，…y_n=$\frac{5}{6}$x_n-1，
∴$\overline{y}$=$\frac{1}{n}$（y₁+y₂+…+y_n）=$\frac{1}{n}$[（$\frac{5}{6}$x₁-1）+（$\frac{5}{6}$x₂-1）+…+（$\frac{5}{6}$x_n-1）]=$\frac{1}{n}$[$\frac{5}{6}$（x₁+x₂+…+x_n）-n]=$\frac{5}{6}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$-1=$\frac{5}{6}$$\overline{x}$-1．

點評 本題考查了一次函數(shù)的應用，求函數(shù)的解析式，熟記一次函數(shù)的性質是解題的關鍵．