Question

20．已知二次函數(shù)y=x²-2x+c（c為常數(shù)）．
（1）若該二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個不同的交點，求c的取值范圍；
（2）已知該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（-1，0）和點B，與y軸交于點C，頂點為D，若存在點P（m，0）（m＞3）使得△CDP與△BDP面積相等，求m的值．

Answer 1

分析 （1）該二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個不同的交點，得出c≠0，且二次函數(shù)與x軸有兩個交點，利用b²-4ac＞0，進一步得出答案即可；
（2）代入點A求得函數(shù)解析式，進一步利用等底等高三角形的面積相等，得出C、B的直線的函數(shù)關(guān)系式，D、P的直線的函數(shù)關(guān)系式，由此得出答案即可．

解答 解：（1）由題意可得，該二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，
也就是當y=0時，方程x²-2x+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，
即b²-4ac＞0，所以4-4c＞0，c＜1．
又因為該二次函數(shù)與兩個坐標軸有三個不同的交點，所以c≠0．
綜上，若該二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個不同的交點，c的取值范圍為c＜1且c≠0．
（2）因為點A（-1，0）在該二次函數(shù)圖象上，可得0=（-1）²-2×（-1）+c，c=-3．
所以該二次函數(shù)的關(guān)系式為y=x²-2x-3，可得C（0，-3）．
由x=-$\frac{2a}$=1，可得B（3，0），D（1，-4）．
若點P（m，0）（m＞3）使得△CDP與△BDP面積相等，
可得點C、B到DP的距離相等，此時，CB∥DP．
設(shè)過點C、B的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，即$\left\{\begin{array}{l}0=3k+b\\-3=0k+b\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-3\end{array}$
設(shè)過點D、P的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=x+n，即-4=1+n，解得n=-5．
即y=x-5，當y=0時，x=5，即m=5．

點評 此題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩條平行的直線之間的關(guān)系，三角形面積，分類思想的運用，綜合性較強．