Question

16．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)A（m，m+1），B（m+3，m-1）兩點(diǎn)，C為x軸上一點(diǎn)，D為y軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求直線CD的解析式．

Answer 1

分析 首先把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，得到關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，進(jìn)而可求出A，B的坐標(biāo)，先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+6，利用勾股定理計(jì)算出AB的長(zhǎng)為$\sqrt{13}$，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，AB=CD=$\sqrt{13}$，于是可設(shè)直線CD的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+n，易得D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$n，0），然后再利用勾股定理得OD²+OC²=DC²，即n²+（$\frac{3}{2}$n）²=13，解方程求出n的值，即可確定直線CD的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)A（m，m+1），B（m+3，m-1）兩點(diǎn)，
∴m（m+1）=（m+3）（m-1），
解得：m=3，
∴A（3，4），B（3，2），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（3，4）、B（6，2）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+6，
AB的長(zhǎng)=$\sqrt{（6-3）^{2}+（4-2）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD=$\sqrt{13}$，
直線CD的解析式可設(shè)為y=-$\frac{2}{3}$x+n，
則D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$n，0），
在Rt△ODC中，OD²+OC²=DC²，
∴n²+（$\frac{3}{2}$n）²=13，解得n=2或-2，
∴n=2，
∴直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{2}{3}$x+2或y=-$\frac{2}{3}$x-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圖象的解析式；運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；掌握平行四邊形的性質(zhì)和兩直線平行線的解析式的關(guān)系以及勾股定理是解題關(guān)鍵．