Question

6．如圖，△ABC、△DEC均為等邊三角形，點M為線段AD的中點，點N為線段BE的中點，求證：△CNM為等邊三角形．

Answer 1

分析 先根據(jù)等邊三角形的性質求出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，再由SAS定理得出△ACD≌△BCE，根據(jù)點M為線段AD的中點，點N為線段BE的中點得出MC=NC，故∠ACM=∠BCN，所以∠ACB=∠MCB+∠ACM=∠MCB+∠BCN=∠MCN=60°，再由MC=NC即可得出結論．

解答 證明：△ABC，△DEC均為等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD．
在△ACD與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠DAC=∠CBE，AD=BE，
又∵點M為線段AD的中點，點N為線段BE的中點，
∴AM=BN，
在△ACM與△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAM=∠CBN}\\{AM=BN}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCN（SAS）．
∴MC=NC
∴∠ACM=∠BCN，
∴∠ACB=∠MCB+∠ACM=∠MCB+∠BCN=∠MCN=60°．
∵MC=NC，
∴△CNM為等邊三角形．

點評 本題考查的是全等三角形的判定與性質，熟知判定全等三角形的SSS，SAS及AAS定理是解答此題的關鍵．