Question

14．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，其內(nèi)部有一個(gè)小正方形EFGH，其中E、F、H分別在BC，CD，AE上．若BE=9，則小正方形EFGH的邊長(zhǎng)$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD為正方形，得到四個(gè)角為直角，四條邊相等，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形ABE與三角形EFC相似，由相似得比例，求出EF的長(zhǎng)，即為小正方形EFGH的邊長(zhǎng)．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=12，CE=3，
在Rt△ABE中，AB=12，BE=9，
∴AE=$\sqrt{12^2+9^2}$=15，
∵∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，且∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{EC}$=$\frac{AE}{EF}$．即$\frac{12}{3}$=$\frac{15}{EF}$，
解得：EF=$\frac{15}{4}$，
則小正方形EFGH的邊長(zhǎng)$\frac{15}{4}$．
故答案為：$\frac{15}{4}$

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．