Question

2．設(shè)直線y=-$\frac{n}{n+1}$x+$\frac{{\sqrt{2}}}{n+1}$（n為正整數(shù)）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S_n（n=1，2，…，2012），則S₁+S₂+…+S₂₀₁₂的值為$\frac{2012}{2013}$．

Answer 1

分析 依次求出S₁、S₂、S_n，就發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，然后求其和即可求得答案．注意$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

解答 解：∵當(dāng)n=1時，y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時，A（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\sqrt{2}$，0），
∴S₁=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{1×2}$；
同理可得，S₂=$\overline{\frac{1}{2}}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1}{2×3}$，
…，
∴S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₂=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2012×2013}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2013}$
=1-$\frac{1}{2013}$
=$\frac{2012}{2013}$．
故答案為：$\frac{2012}{2013}$．

點評 此題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．