Question

16．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，△ABC的外角平分線BD交⊙O于點D，DE⊥CB的延長線于點E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若∠A=30°，BE=3，分別求線段DE和$\widehat{BD}$的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，DC，CO，首先證明AC∥DE可得∠ECD=∠ODC，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠CDE+∠DCE=90°，利用等量代換可得∠ODC+∠CDE=90°，進而可得DE為⊙O的切線；
（2）首先證明∠DBE=60°，然后利用三角函數(shù)可得BD和DE長，再利用弧長公式可得$\widehat{BD}$的長．

解答 （1）證明：連接OD，DC，CO，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥CB，
∴∠DEC=90°，
∴AC∥DE，∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠ECD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=90°，
∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABE=120°，
∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠DBE=60°，
∵BE=3，
∴DE=EB•tan60°=3$\sqrt{3}$，BD=6，
∵DO=BO，
∴∠BOD=60°，
∴$\widehat{BD}$=$\frac{60π×6}{180}$=2π．

點評 此題主要考查了弧長計算、切線的判定、以及三角函數(shù)的應用，關鍵是掌握切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．