Question

7．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，對角線相交于點O，過O作AB的平行線交兩腰于點M，N．求證：$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{2}{MN}$．

Answer 1

分析 根據已知條件得到△DOM∽△DBA，△CON∽△CBA根據相似三角形的性質得到$\frac{OM}{AB}=\frac{OD}{BD}$，$\frac{ON}{AB}=\frac{OC}{AC}$，推出ON=OM，根據相似三角形的性質得到$\frac{OM}{CD}=\frac{AO}{AC}$，兩式相加得到$\frac{ON}{AB}+\frac{OM}{CD}=\frac{OC}{AC}+\frac{OA}{AC}$=1，根據等式的性質即可得到結論．

解答 解：∵AB∥CD∥MN，
∴△DOM∽△DBA，△CON∽△CBA
∴$\frac{OM}{AB}=\frac{OD}{BD}$，$\frac{ON}{AB}=\frac{OC}{AC}$，
∴$\frac{OD}{DB}=\frac{OC}{AC}$，
∴$\frac{OM}{AB}=\frac{ON}{AB}$，
∴ON=OM，
∵AB∥CD∥MN，
∴△AMO∽△ADC，
∴$\frac{OM}{CD}=\frac{AO}{AC}$，
∴$\frac{ON}{AB}+\frac{OM}{CD}=\frac{OC}{AC}+\frac{OA}{AC}$=1，
∵ON=OM=$\frac{1}{2}$MN，
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{2}{MN}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．