Question

19．如圖，設P為?ABCD內(nèi)任意一點，過P作EF∥AB，GH∥BC，EF交A，BC于點E，F(xiàn)，GH交AB，DC于點G，H，且AC，GF，EH不平行．求證：AC，GF，EH相交于一點．

Answer 1

分析 先設AC、EH相交于點K，再證G、F、K三點共線，考慮到梅涅勞斯定理的逆定理，也就是證$\frac{CK}{KA}•\frac{AG}{GB}•\frac{BF}{FC}=1$，而由題設易知$\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$，$\frac{DH}{HC}=\frac{AG}{GB}$，再結(jié)合△CAD與截線EHK使用梅涅勞斯定理可得$\frac{CK}{KA}•\frac{AE}{ED}•\frac{DH}{HC}=1$，結(jié)論是顯然的．

解答 證明：設AC、EH相交于點K，
對于△CAD與截線EHK，由梅涅勞斯定理可得：$\frac{CK}{KA}•\frac{AE}{ED}•\frac{DH}{HC}=1$，
∵ABCD是平行四邊形，且EF∥AB，GH∥BC，
∴$\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$，$\frac{DH}{HC}=\frac{AG}{GB}$，
∴$\frac{CK}{KA}•\frac{AG}{GB}•\frac{BF}{FC}=1$，
由梅涅勞斯定理的逆定理可知G、F、K三點共線，
∴AC，GF，EH相交于一點．

點評 本題梅涅勞斯定理及其逆定理的經(jīng)典應用，也是證明三線共點的一道代表性題目，難度不大，但值得研習．對于證明三線共點的題目，先讓兩線相交于一點，把問題轉(zhuǎn)化為三點共線問題，也就是轉(zhuǎn)化為線段比例問題，這樣就容易入手．