Question

15．如圖①，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點B與點O重合，點A的坐標(biāo)為（0，5），在△AFO中，∠AFO=90°，點F的坐標(biāo)為（-$\frac{12}{5}$，$\frac{9}{5}$）．
（1）請直接寫出AF的長是4；
（2）將△AFO沿y軸對折，F(xiàn)O正好與矩形AOCD對角線OD在OE處重合，延長AE交x軸于P，請求出點P的坐標(biāo)；
（3）如圖②，將△AFO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△AFO為△A′F′O，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點P，與直線OD交于點Q．是否有這樣的P、Q兩點，使得DP=DQ？若有，求出此時F′Q的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩點間的距離公式，即可解答；
（2）根據(jù)點F與點E關(guān)于y軸對稱，得到點E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式，求出與x軸的交點坐標(biāo)即可解答；
（3）分兩種情況解答：①點Q落在OD延長線上，PD=DQ，先證明∠3=∠Q，得到A′Q=A′O=5，根據(jù)F′Q=F′A′+A′Q，即可解答；②點Q落在OD上，且PD=DQ，證明∠A′QO=∠A′OQ，得到A′Q=A′O=5，根據(jù)F′Q=A′Q-A′F′，即可解答．

解答 解：（1）AF=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（5-\frac{9}{5}）^{2}}$=4，
故答案為：4；                
（2）∵將△AFO沿y軸對折，F(xiàn)O正好與矩形AOCD對角線OD在OE處重合，點F的坐標(biāo)為（-$\frac{12}{5}$，$\frac{9}{5}$）．
∴E（$\frac{12}{5}$，$\frac{9}{5}$），
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，
把點A的坐標(biāo)為（0，5），E（$\frac{12}{5}$，$\frac{9}{5}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{\frac{12}{5}k+b=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
AE直線解析式：y=$-\frac{4}{3}x+5$，
當(dāng)y=0時，$-\frac{4}{3}x+5=0$，
解得：x=$\frac{15}{4}$，
∴P（$\frac{15}{4}$，0）．
（3）有，
①如圖③，點Q落在OD延長線上，PD=DQ，

∴∠Q=∠QPD，
∴∠2=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′O=5，
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．     
②如圖④，點Q落在OD上，且PD=DQ，

∴∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°-$\frac{1}{2}$∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠4=90°-$\frac{1}{2}$∠1．
∴∠A′QO=∠4=90°-$\frac{1}{2}$∠1，
∴∠A′OQ=180°-∠A′QO-∠1=90°-$\frac{1}{2}$∠1，
∴∠A′QO=∠A′OQ，
∴A′Q=A′O=5，
∴F′Q=A′Q-A′F′=5-4=1．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解決本題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及分類討論思想的應(yīng)用，在（3）中畫出圖形非常重要．