Question

10．把一張矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和D重合，折痕為EF．
（1）連接BE，求證：四邊形BFDE是菱形；
（2）若AB=8cm，BC=16cm，求線段DF和EF的長．

Answer 1

分析 （1）證得DE=DF，得四邊形BFDE是平行四邊形，根據(jù)折疊的性質(zhì)知：BF=DF，得四邊形BFDE是菱形；
（2）在Rt△DCF中，利用勾股定理可求得DF的長；連接BD，得BD=8$\sqrt{5}$cm，利用S_菱形BFDE=$\frac{1}{2}$EF•BD，易得EF的長．

解答 解：（1）由折疊的性質(zhì)可得∠BFE=∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
由折疊知，BF=DF．
∴四邊形BFDE是菱形；
（3）在Rt△DCF中，設(shè)DF=x，則BF=x，CF=16-x，
由勾股定理得：x²=（16-x）²+8²，
解得x=10，
DF=10cm，
連接BD．
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
∵S_菱形BFDE=$\frac{1}{2}$EF•BD=BF•DC，
∴$\frac{1}{2}$EF×8$\sqrt{5}$=10×8
解得EF=4$\sqrt{5}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勾股定理、平行四邊形的判定、菱形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作好輔助線找到相關(guān)的三角形．