Question

4．已知二次函數(shù)y=x²+mx+n．
（1）設(shè)m=-2，當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，求二次函數(shù)的最小值（用字母表示）；
（2）若-3≤x≤0時(shí)二次函數(shù)的最小值為-4，求m、n應(yīng)滿足的關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=-2時(shí)，y=x²+mx+n=x²-2x+n，根據(jù)對(duì)稱軸是x=1，可得當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，y單調(diào)遞減，據(jù)此求出二次函數(shù)的最小值即可．
（2）二次函數(shù)y=x²+mx+n的對(duì)稱軸是x=-$\frac{m}{2}$，分三種情況討論：①當(dāng)-$\frac{m}{2}$≤-3時(shí)；②當(dāng)-3＜-$\frac{m}{2}$＜0時(shí)；③當(dāng)-$\frac{m}{2}$≥0時(shí)；根據(jù)二次函數(shù)的最小值為-4，判斷出m、n應(yīng)滿足的關(guān)系即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=-2時(shí)，
y=x²+mx+n=x²-2x+n，
對(duì)稱軸是：x=-$\frac{-2}{2×1}=1$，
∵二次函數(shù)開(kāi)口向上，
∴當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，y單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0時(shí)，
y_min=0²-2×0+n=n，
即當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，二次函數(shù)的最小值是n．

（2）二次函數(shù)y=x²+mx+n的對(duì)稱軸是x=-$\frac{m}{2}$，
①當(dāng)-$\frac{m}{2}$≤-3時(shí)，即m≥6時(shí)，
-3≤x≤0時(shí)，y單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-3時(shí)，
y_min=（-3）²+m×（-3）+n=-3m+n+9=-4，
∴n=3m-13．

②當(dāng)-3＜-$\frac{m}{2}$＜0時(shí)，即0＜m＜6時(shí)，
當(dāng)x=-$\frac{m}{2}$時(shí)，
y_min=$\frac{4n{-m}^{2}}{4}$=-4，
∴n=$\frac{{m}^{2}}{4}-4$．

③當(dāng)-$\frac{m}{2}$≥0時(shí)，即m≤0時(shí)，
-3≤x≤0時(shí)，y單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0時(shí)，
y_min=0²+m×0+n=n=-4，
∴n=-4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的最值的求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．