Question

13．如圖所示，在⊙O中，弦AB與DC相交于點(diǎn)E，AB=CD．
（1）求證：△AEC≌△DEB；
（2）連接BC，判斷直線OE與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）要證△AEC≌△DEB，由于AB=CD，根據(jù)等弦所對(duì)的弧相等得$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，根據(jù)等量減等量還是等量，得$\widehat{BD}$=$\widehat{CA}$，由等弧對(duì)等弦得BD=CA，由圓周角定理得，∠ACE=∠DBE，∠AEC=∠DEB，即可根據(jù)AAS判定；
（2）由△AEC≌△DEB得，BE=CE，得到點(diǎn)E在直線BC的中垂線上，連接BO，CO，BO和CO是半徑，則BO和CO相等，即點(diǎn)O在線段BC的中垂線上，亦即直線EO是線段BC的中垂線，OE⊥BC．

解答 （1）證明：∵AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$．
∴$\widehat{AB}$-$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$-$\widehat{AD}$．
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CA}$．
∴BD=CA．
在△AEC與△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠DBE}\\{∠AEC=∠DEB}\\{BD=CA}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DEB（AAS）．

（2）解：OE⊥BC，
如圖，連接OB、OC、BC．
由（1）得BE=CE．
∴點(diǎn)E在線段BC的中垂線上，
∵BO=CO，
∴點(diǎn)O在線段BC的中垂線上，
∴OE⊥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理、等弦所對(duì)的弧相等，等弧對(duì)等弦、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．