Question

3．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，M為對角線BD延長線上一點，連接AM和CM，E為CM上一點，且滿足CB=CE，連接BE，交CD于點F．
（1）若∠AMB=30°，且DM=3，求BE的長；
（2）證明：AM=CF+DM．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠MAB=90°，再證明△BMA≌△BMC，推出∠BCE=90°，利用勾股定理即可解決問題．
（2）如圖2中，在BD上取一點G，使得BG=DF，連接CG交BE于O．只要證明△GBC≌△FDB，MG=MC即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD，△BCD的是等邊三角形，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠BAD=60°，BA=BC，
∵∠AMB=30°，∠ADB=∠AMB+∠DAM，
∴∠DAM=∠DMA=30°，
∴∠BAM=90°，DA=DM=AB=BC=CE=3，
在△BMA和△BMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BM}\\{∠MBA=∠MBC}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△BMA≌△BMC，
∴∠BCM=∠BAM=90°，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

（2）如圖2中，在BD上取一點G，使得BG=DF，連接CG交BE于O．

∵BG=DF，∠CBG=∠BDF，BD=BC，
∴△GBC≌△FDB，
∴∠BGC=∠BFD，∠DBF=∠BCG，
∴∠MGC=∠BFC，
∵∠COF=∠CBO+∠OCB=∠CBO+∠DBF=60°
在△COE中，∠ECO+∠EOC+∠CEO=180°，
在△BCF中，∠BFC+∠CBF+∠BCF=180°，
∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEO，∵∠BCF=∠COE=60°，
∴∠ECO=∠BFC=∠MGC，
∴MC=MG，
由（1）可知△BMA≌△BMC，
∴AM=MC=MG，
∵MG=DG+DM，
∵BD=CD，BG=DF，
∴DG=CF，
∴AM=CF+DM

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線（截長補短法），構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．