Question

7．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連接CE，將頂點(diǎn)B沿CE折疊至點(diǎn)P處，連接AP并延長交邊CD于點(diǎn)F，
（1）判斷四邊形AECF為的形狀并說明理由；
（2）若點(diǎn)P同時(shí)可看作是B點(diǎn)繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，求證：△APB≌△ECP；
（3）若AB=6，BC=4，求$\frac{PF}{AP}$的值．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)與點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，易得AE=BE=PE，BP⊥EC，即可證得∠APB=90°，則可得AF∥EC，又由AE∥FC，可證得四邊形AECF為平行四邊形；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易得△PBC是等邊三角形，則可得PB=PC，∠ABP=∠ECP=30°，然后由∠EPC=∠APB=90°，證得：△APB≌△ECP；
（3）首先利用勾股定理求得EC的長，然后利用直角三角形的面積，求得BQ的長，即可求得BP的長，又由勾股定理，求得AP的長，繼而求得PF的長，則可求得答案．

解答 （1）四邊形AECF為平行四邊形．
證明：由折疊得到BE=PE，EC⊥PB，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=EB=PE，
∴AP⊥BP，
∴AF∥EC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴四邊形AECF為平行四邊形；

（2）∵點(diǎn)P同時(shí)可看作是B點(diǎn)繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，
∴CB=CP，∠BCP=60°，
∴△PBC是等邊三角形，
∴PB=PC，∠PBC=∠PCB=60°，
由折疊的性質(zhì)可得：∠EPC=∠EBC=90°，∠BCE=∠ECP=$\frac{1}{2}$∠PCB=30°，
∴∠EPC=∠APB=90°，∠ABP=90°-∠PBC=30°，
∴∠ABP=∠ECP，
在△ABP和△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠ECP}\\{PB=PC}\\{∠APB=∠EPC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ECP（ASA），

（3）解：設(shè)BP與CE相較于點(diǎn)Q，
在Rt△EBC中，EB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3，BC=4，
∴EC=$\sqrt{E{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵S_△EBC=$\frac{1}{2}$EB•BC=$\frac{1}{2}$EC•BQ，
∴BQ=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
由折疊得：BP=2BQ=$\frac{24}{5}$，
在Rt△ABP中，AP=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∵四邊形AECF為平行四邊形，
∴AF=EC=5，F(xiàn)C=AE=3，
∴PF=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$，
∴$\frac{PF}{AP}$=$\frac{\frac{7}{5}}{\frac{18}{5}}$=$\frac{7}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形的綜合題．考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及旋轉(zhuǎn)與折疊的性質(zhì)．注意掌握折疊與旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．