Question

6．探究一：如圖①，點E，D分別是正△ABC的邊CB，AC延長線上的點，連接AE，DB，延長DB交AE于點F，已知△ABE≌△BCD．
（1）寫出所有與∠BAE相等的角，并說明理由．
（2）求∠AFB的度數．
探究二：如圖②，點E，D分別是正五邊形ABCMN的邊CB，MC延長線上的點，連結AE，DB，延長DB交AE于點F，若△ABE≌△BCD，則∠AFB的大小為108°度．

Answer 1

分析 （1）根據全等三角形的性質得到∠BAE=∠CBD，于是得到∠BAE=∠EBF；
（2）根據全等三角形的性質得到∠E=∠D，推出∠AFB=∠ACB，得到△ABC是等邊三角形，求得∠ACB=60°，于是得到結論；
（3）由五邊形ABCMN是正五邊形，得到AB=BC，∠ABC=∠BCM=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，根據全等三角形的性質得到∠E=∠D，于是得到結論．

解答 解：（1）與∠BAE相等的交有∠CBD，∠EBF，
理由：∵△ABE≌△BCD，
∴∠BAE=∠CBD，
∵∠CBD=∠EBF，
∴∠BAE=∠EBF；
（2）∵△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠AFB=∠E+∠EBF，∠ACB=∠D+∠CBD，
∴∠AFB=∠ACB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠AFB=60°；（3）∵四邊形ABCMN是正五邊形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCM=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，
∴∠ABE=∠BCD=180°-108°=72°，
在△ABE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠BCM=108°，
故答案為：108°．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定、正多邊形的性質、三角形內角和定理、鄰補角以及多邊形內角與外角，解題的關鍵是：（1）通過全等三角形的性質結合角的計算找出∠AFB=∠ACB；（2）根據多邊形內角和定理以及正多邊形的性質找出每個內角的度數．