Question

16．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，E，F(xiàn)兩點分別在AC，BC邊上運動�。�點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論：
①四邊形CEDF不可能為正方形；
②△DFE是等腰直角三角形；
③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；
④點C到線段EF的最大距離為$\sqrt{2}$．
其中正確結(jié)論有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①當(dāng)E為AC中點，F(xiàn)為BC中點時，四邊形CEDF為正方形；
②作常規(guī)輔助線連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
③由②△ADE≌△CDF，就有S_△ADE=S_△CDF，再通過等量代換就可以求出結(jié)論；
④△DEF是等腰直角三角形，$\sqrt{2}$DE=EF，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時，F(xiàn)E取最小值2$\sqrt{2}$，此時點C到線段EF的最大距離．

解答 解：①當(dāng)E、F分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形，
所以四邊形CEDF可以為正方形，故選項①錯誤；
連接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故選項②正確；
③∵△ADE≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF．
∵S_{四邊形CEDF}=S_△CED+S_△CFD，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△CED+S_△AED，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△ADC．
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=4．
∴四邊形CEDF的面積是定值4，
∴四邊形CEDF的面積不隨點E位置的改變而發(fā)生變化，故選項③錯誤；
④設(shè)C到EF的距離為d，CF=x，
∵△DEF是等腰直角三角形，故D到EF的距離為$\frac{1}{2}$，
又四邊形CEDF的面積是定值4，
故S_{四邊形CEDF}=S_△CEF+S_△FED=$\frac{EF}{2}$=4
d=$\frac{8}{EF}$，當(dāng)EF越小，則減數(shù)越大，被減數(shù)越小，d越大；
由勾股定理可知EF²=x²+（4-x）²=2（x-2）²+8（0＜x＜4）
故x=2時，EF取最小值=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
代入解得：d=$\sqrt{2}$．故選項④正確．
故選B．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識，根據(jù)圖形利用割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積是解題關(guān)鍵．