Question

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論中一定成立的是（　�。�
①∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S_△BEC=2S_△CEF．

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可；
②延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，證明△AEF≌△DMF，得到EF=FM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答；
③設(shè)∠FEC=x，用x分別表示出∠DFE和∠AEF，比較即可；
④根據(jù)EF=FM，得到S_△EFC=S_△CFM，根據(jù)MC＞BE，得到S_△BEC＜2S_△EFC．

解答 解：①∵F是AD的中點(diǎn)，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，故此選項(xiàng)正確；
②如圖1，延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F為AD中點(diǎn)，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MDF}\\{∠AFE=∠DFM}\\{AF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，故②正確；
③設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此選項(xiàng)正確；
④∵EF=FM，
∴S_△EFC=S_△CFM，
∵M(jìn)C＞BE，
∴S_△BEC＜2S_△EFC
故S_△BEC=2S_△CEF錯(cuò)誤，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線、得出△AEF≌△DMF是解題關(guān)鍵．