Question

5．用換元法解下列方程：
（1）x-12+$\sqrt{x}$=0；
（2）x²+3x+$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=6．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\sqrt{x}$=a，將原方程化為關(guān)于a的一元二次方程解出，再代回$\sqrt{x}$=a，求出x；
（2）設(shè)$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=a，將原方程化為a²+a-6=0，解這個(gè)一元二次方程，再代入$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=a中求x．

解答 解：（1）x-12+$\sqrt{x}$=0；
設(shè)$\sqrt{x}$=a，
則原方程化為：a²+a-12=0，
（a+4）（a-3）=0，
a₁=-4，a₂=3，
當(dāng)a₁=-4時(shí)，$\sqrt{x}$=-4，無實(shí)數(shù)解，
當(dāng)a₂=3時(shí)，$\sqrt{x}$=3，x=9，
∴原方程的解為：x=9；
（2）x²+3x+$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=6，
設(shè)$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=a，
則原方程化為：a²+a-6=0，
（a+3）（a-2）=0，
a₁=-3，a₂=2，
當(dāng)a₁=-3時(shí)，$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=-3，無實(shí)數(shù)解，
當(dāng)a₂=2時(shí)，$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=2，
x²+3x-4=0，
（x+4）（x-1）=0，
x₁=-4，x₂=1，
∴原方程的解為：x₁=-4，x₂=1．

點(diǎn)評 本題是運(yùn)用換元法解可化為一元二次方程的無理方程，解方程時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，這種方法叫換元法；此題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出新的未知數(shù)，把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．