Question

4．如圖1，△ABC與△ADE都是以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形，其中AB=AC，AD=AE．
（1）直接寫(xiě)出BD與EC的數(shù)量關(guān)系是BD=EC．
（2）將圖1中的△ADE繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接BD和CE．請(qǐng)問(wèn)（1）中的數(shù)量關(guān)系是否成立？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若成立，請(qǐng)給予證明；
（3）如圖2，若BD⊥AD，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，求證：BF=CF．

Answer 1

分析 （1）等量減等量即可求得BD=EC；
（2）先求得∠BAD=∠CAE，然后根據(jù)SAS證得△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證得BD=EC．
（3）連接AF，先證△AEG∽△FCG，進(jìn)而可證△AGF∽△EGC，可得∠FAG=∠CEG．由（2）可得∠AEC=90°，代入等量關(guān)系可證得∠AFC=90°，最后可知F是BC的中點(diǎn)．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，
即BD=EC，
故答案為：BD=EC；

（2）成立；
理由：如圖2，∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC．

（3）如圖，連接AF，
∵∠AEG=∠FCG=60°，∠EGA=∠CGF，
∴△AEG∽△FCG；
∴$\frac{AG}{FG}=\frac{EG}{CG}$；
∵∠AGF=∠EGC，
∴△AGF∽△EGC，
∴∠FAG=∠CEG
∵由（2）可知△BAD≌△CAE，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵∠AEC=∠AEG+CEG，
∴∠ACF+FAC=90°，
∴∠AFC=180°-90°=90°，即AF⊥BC．
∵AF是等腰三角形ABC底邊上的高，
∴BF=FC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．