Question

19．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O為邊AB上一動點（不與A、B重合），以O(shè)為圓心OB為半徑的圓交BC于點D，設(shè)OB=x，DC=y．
（1）如圖1，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；
（2）當(dāng)⊙O與線段AC有且只有一個交點時，求x的取值范圍；
（3）如圖2，若⊙O與邊AC交于點E（有兩個交點時取靠近C的交點），聯(lián)結(jié)DE，當(dāng)△DEC與△ABC相似時，求x的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，求得 OD∥AC，得出△BOD∽△BAC，$\frac{BO}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，從而求得$\frac{x}{5}$=$\frac{6-y}{6}$，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）設(shè)切點為M，作BN⊥AC于N，連接OM，得出OM∥BN，$\frac{OM}{BN}$=$\frac{AO}{AB}$，根據(jù)三角形的面積公式求得BN=$\frac{24}{5}$，從而求得$\frac{x}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5-x}{5}$，解得x=$\frac{120}{49}$，所以x=$\frac{120}{49}$或2.5＜x＜5時，⊙O與線段AC有且只有一個交點．
（3）①如果△DEC∽△ABC時，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠EDC=∠A，∠DEC=∠B，就可證得△DEC∽△ABC，從而證得AB是圓O的直徑，即可求得x的值，②如果△DEC∽△BAC時，先證得四邊形AODE是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)即可求得．

解答 解：（1）如圖1，連接OD，
∵OB=OD，AB=AC，
∴∠B=∠ODB．∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴$\frac{BO}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$．
∵AB=AC=5，BC=6，OB=x，DC=y，
∴$\frac{x}{5}$=$\frac{6-y}{6}$，
∴y=-$\frac{6}{5}$x+6．
∵O為邊AB上一動點（不與A、B重合），
∴0＜x＜5；
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{6}{5}$x+6，定義域為0＜x＜5；

（2）如圖2，當(dāng)⊙O與AC相切時，設(shè)切點為M，⊙O與線段AC有且只有一個交點，
作BN⊥AC于N，連接OM，
∴OM⊥AC，
∴OM∥BN，
∴$\frac{OM}{BN}$=$\frac{AO}{AB}$，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BC邊上的高為4，
∵$\frac{1}{2}$BC×4=$\frac{1}{2}$AC•BN，
∴BN=$\frac{24}{5}$，
∴$\frac{x}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5-x}{5}$，
解得x=$\frac{120}{49}$，
∴x=$\frac{120}{49}$或2.5＜x＜5時，⊙O與線段AC有且只有一個交點．
（3）如圖3，①若以AB為直徑作圓O，交AC于E時，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)∠EDC=∠A，∠DEC=∠B，
則△DEC∽△ABC，
此時x=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$．
②若DE∥AB時，如圖4，∵OB=OD=x，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴四邊形AODE是平行四邊形，
∴DE=OA=5-x，∠ODE=∠A，
作CM⊥AB于M，ON⊥DE于N，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴5²-AM²=6²-（5-AM）²，
解得AM=$\frac{7}{5}$，
∴cos∠A=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{\frac{7}{5}}{5}$=$\frac{7}{25}$，
∵OD=OE，
∴DN=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{5-x}{2}$，
∴cos∠ODE=$\frac{DN}{OD}$=cos∠A=$\frac{7}{25}$，即$\frac{\frac{5-x}{2}}{x}$=$\frac{7}{25}$，
解得x=$\frac{125}{39}$．
綜上，當(dāng)△DEC與△ABC相似時，x的值為$\frac{5}{2}$或$\frac{125}{39}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形的面積等，作出輔助線構(gòu)建相似三角形是本題的關(guān)鍵．