Question

8．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c（b，c是常數(shù)，且c＜0）與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）b=$\frac{1}{2}$+c，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-2c（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；
（2）連接BC，過點(diǎn)A作直線AE∥BC，與拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c交于點(diǎn)E，點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，設(shè)所得△PBC的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將A（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，可以得出b=$\frac{1}{2}$+c；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出-1•x_B=$\frac{c}{\frac{1}{2}}$，即x_B=-2c；
（2）由y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，求出此拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），則可設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+c；由AE∥BC，設(shè)直線AE得到解析式為y=$\frac{1}{2}$x+m，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AE得到解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$；解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+（\frac{1}{2}+c）x+c}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，求出點(diǎn)E坐標(biāo)為（1-2c，1-c），將點(diǎn)E坐標(biāo)代入直線CD的解析式y(tǒng)=-$\frac{c}{2}$x+c，求出c=-2，進(jìn)而得到拋物線的解析式；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，由0＜S＜S_△ACB，易求0＜S＜5；（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜4時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，交CB于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2），則點(diǎn)F坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{2}$x-2），PF=PG-GF=-$\frac{1}{2}$x²+2x，S=$\frac{1}{2}$PF•OB=-x²+4x=-（x-2）²+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S_最大值=4，即0＜S≤4．則0＜S＜5．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），
∴0=$\frac{1}{2}$×（-1）²+b×（-1）+c，
∴b=$\frac{1}{2}$+c，
∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A（-1，0）、B（x_B，0）（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），
∴-1與x_B是一元二次方程$\frac{1}{2}$x²+bx+c=0的兩個(gè)根，
∴-1•x_B=$\frac{c}{\frac{1}{2}}$，
∴x_B=-2c，即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-2c；
故答案為：$\frac{1}{2}$+c；-2c；

（2）∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，c）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c，
∵B（-2c，0），
∴-2kc+c=0，
∵c≠0，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直線BC的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+c．
∵AE∥BC，
∴可設(shè)直線AE得到解析式為y=$\frac{1}{2}$x+m，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴$\frac{1}{2}$×（-1）+m=0，解得：m=$\frac{1}{2}$，
∴直線AE得到解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+（\frac{1}{2}+c）x+c}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1-2c}\\{{y}_{2}=1-c}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（1-2c，1-c）．
∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，c），點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，0），
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{c}{2}$x+c．
∵C，D，E三點(diǎn)在同一直線上，
∴1-c=-$\frac{c}{2}$×（1-2c）+c，
∴2c²+3c-2=0，
∴c₁=$\frac{1}{2}$（與c＜0矛盾，舍去），c₂=-2，
∴b=$\frac{1}{2}$+c=-$\frac{3}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；

（3）①設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-2），
∴AB=5，OC=2，直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2．
分兩種情況：
（Ⅰ）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，0＜S＜S_△ACB．
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$AB•OC=5，
∴0＜S＜5；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜4時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，交CB于點(diǎn)F．
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{2}$x-2），
∴PF=PG-GF=-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）+（$\frac{1}{2}$x-2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
∴S=S_△PFC+S_△PFB=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+2x）×4=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S_最大值=4，
∴0＜S≤4．
綜上可知0＜S＜5．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，直線平移的規(guī)律，求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，一元二次方程的根的判別及根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．