Question

3．如圖，拋物線$y=\frac{2}{m}{x^2}-2x$與x軸的負半軸交于點A，對稱軸經(jīng)過頂點B與x軸交于點M．
（1）求拋物線的頂點B的坐標 （用含m的代數(shù)式表示）；
（2）連結BO，若BO的中點C的坐標為（$-\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，D在拋物線上，E在直線BM上，若以A、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用配方法或公式法都能求出點B的坐標；
（2）根據(jù)中點坐標公式求出m的值，代入拋物線的解析式即可；
（3）先求出A點坐標與對稱軸方程，再設D（x，-$\frac{1}{3}$x²-2x），E（-3，t），分當AC為平行四邊形的對角線；AE為對角線與AD為對角線三種情況進行討論．

解答 解：（1）∵y=$\frac{2}{m}$x²-2x=$\frac{2}{m}$（x²-mx+$\frac{1}{4}$m²）-$\frac{2}{m}$•$\frac{1}{4}$m²=$\frac{2}{m}$（x-$\frac{1}{2}$m）²-$\frac{1}{2}$m，
∴拋物線的頂點B的坐標為（$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{2}$m）；

（2）∵B（$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{2}$m），BO的中點C的坐標為（$-\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴$\frac{1}{4}$m=-$\frac{3}{2}$，解得m=-6，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x²-2x；

（3）∵拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²-2x與x軸的負半軸交于點A，
∴A（-6，0），
∴對稱軸BE為x=-3．
∵D在拋物線上，E在直線BM上，
∴設D（x，-$\frac{1}{3}$x²-2x），E（-3，t），
如圖1，當AC為平行四邊形的對角線時，
∵C（$-\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴-6-$\frac{3}{2}$=x-3，$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{3}$x²-2x+t，解得x=-$\frac{9}{2}$，t=-$\frac{3}{4}$，
∴D（-$\frac{9}{2}$，$\frac{9}{4}$），E（-3，-$\frac{3}{4}$）；
如圖2，當AE為對角線時，-6-3=-$\frac{3}{2}$+x，t=-$\frac{1}{3}$x²-2x+$\frac{3}{2}$，解得x=-$\frac{15}{2}$，t=-$\frac{9}{4}$，
∴D（-$\frac{15}{2}$，-$\frac{15}{4}$），E（-3，-$\frac{9}{4}$）；
當AD為對角線時，-6+x=-$\frac{3}{2}$-3，-$\frac{1}{3}$x²-2x=t+$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{3}{2}$，t=-$\frac{21}{4}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），E（-3，-$\frac{21}{4}$）．
綜上所示，D（-$\frac{9}{2}$，$\frac{9}{4}$），E（-3，-$\frac{3}{4}$）或D（-$\frac{15}{2}$，-$\frac{15}{4}$），E（-3，-$\frac{9}{4}$）或D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），E（-3，-$\frac{21}{4}$）．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，同時要注意的是平行四邊形四頂點順序不確定時，一定要分情況討論，以免漏解．