Question

3．如圖，在⊙O中，半徑OA垂直于弦BC，垂足為E，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上，若∠DAB+
∠AOB=60°
（1）求∠AOB的度數(shù)；
（2）若AE=1，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)垂徑定理和三角形的外角的性質(zhì)證明∠DAB=∠AOB，求出∠AOB的度數(shù)；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE=$\frac{1}{2}$OB，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理求出r，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到答案．

解答 解：（1）連接OC，
∵OA⊥BC，OC=OB，
∴∠AOC=∠AOB，∠ACO=∠ABO，
∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB，∠ACO=∠OAB，
∴∠DAB=∠AOC，
∴∠DAB=∠AOB，又∠DAB+∠AOB=60°，
∴∠AOB=30°；
（2）∵∠AOB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$OB，
設(shè)⊙O的半徑為r，則BE=$\frac{1}{2}$r，OE=r-1，
由勾股定理得，r²=（$\frac{1}{2}$r）²+（r-1）²，
解得r₁=4+2$\sqrt{3}$，r₂=4-2$\sqrt{3}$（舍去）
∵OB=OC，∠BOC=2∠AOB=60°，
∴BC=r=4+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是勾股定理、圓周角定理和垂徑定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、理解垂直于弦的直徑平分這條弦、等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．