Question

6．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC，AC且BD=CE，AD、BE相交于點M．求證：
（1）△AME∽△BAE；         
（2）BD²=AD•DM．

Answer 1

分析 （1）首先利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證得△ABD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)得∠EAM=∠EBA，由相似三角形的（AA）判定定理得結(jié)論；
（2）利用（1）中結(jié)論可得∠BAD=∠MBD，又∠BDA=∠MDB，由相似三角形的判定定理得△BDA∽△MDB，利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
在△ABD與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠BCE=60°}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠EAM=∠CAB-∠BAD=60°-∠BAD，∠EBA=∠ABC-∠CBE=60°-∠CBE，
∴∠EAM=∠EBA，
∵∠AEM=∠BEA，
∴△AME∽△BAE；

（2）∵∠BAD=∠CBE，即∠BAD=∠MBD，∠BDA=∠MDB，
∴△BDA∽△MDB，
∴$\frac{BD}{MD}=\frac{DA}{DB}$，
∴BD²=DA•DM．

點評 本題主要考查了全等三角形與相似三角形的判定及性質(zhì)定理，利用等邊三角形的性質(zhì)得到判斷全等三角形的條件是解答此題的關(guān)鍵．