Question

15．如圖，將?ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落到AD邊上的點F處，折痕為AE，連接FE、DE．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若DE平分∠ADC，四邊形CDFE會是菱形嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)知，∠1=∠2，AB=AF，由平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC，于是有∠2=∠3，進而得到∠1=∠3，根據(jù)等腰三角形的判定證得AB=BE，即可得到AF=BE，由于AF∥BE，即可證得結(jié)論；
（2）由線段的和差關(guān)系得到DF=CE，易證四邊形CDFE是平行四邊形，由∠4=∠5，∠4=∠6，得到∠5=∠6，根據(jù)等腰三角形的判定得到CD=CE，由菱形的判定即的結(jié)論．

解答 證明：（1）由折疊知，∠1=∠2，AB=AF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF是菱形；

（2）四邊形CDFE會是菱形，
∵AD-AF=BC-BE，即DF=CE，DF∥CE，
∴四邊形CDFE是平行四邊形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠4=∠5，
∵AD∥BC，
∴∠4=∠6，
∴∠5=∠6，
∴CD=CE，
∴?CDFE是菱形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)證得AB=BE是解題的關(guān)鍵．