Question

7．將一張足夠大的正方形紙片，按如圖所示虛線剪成四個大小形狀一樣的正方形，然后將其一個正方形再按同樣的方法剪成四個小正方形，如此循環(huán)下去，并統(tǒng)計每次剪后正方形的個數(shù)．
（1）根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果填寫下表，并根據(jù)規(guī)律寫出S與n的關(guān)系式：

剪的次數(shù)（n）	1	2	3	4	…	n
正方形個數(shù)（n）					…

（2）運用（1）中總結(jié)的公式計算要剪出100個正方形，共要剪幾次？能不能將原來的正方形剪出2015個小正方形？為什么？
（3）若原正方形的邊長為1，第n次所剪出的正方形的邊長是多少？

Answer 1

分析 （1）分別計算得出答案發(fā)現(xiàn)：每剪一次，就是在4個正方形的基礎(chǔ)上增加3個，則第n次共有4+3（n-1）=3n+1個正方形；
（2）利用（1）中的計算方法建立方程求得答案即可；
（3）每剪依次邊長就是原來的一半，由此進一步得出答案即可．

解答 解：（1）填表如下：

的次數(shù)（n）	1	2	3	4	…	n
正方形個數(shù)（n）	4	7	10	13	…	S=3n+1

（2）3n+1=100，解得n=33，
所以剪出100個正方形，共要剪33次；
3n+1=2015，解得n=671$\frac{1}{3}$，
n是正整數(shù)，所以不能將原來的正方形剪出2015個小正方形；
（3）n=1時，邊長=$\frac{1}{2}$；
n=2時，邊長=$\frac{1}{{2}^{2}}$；
n=3時，邊長=$\frac{1}{{2}^{3}}$；
…；
剪n次時，邊長=$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．