Question

10．在平面直角坐標(biāo)系中，點A（4，0）、B（0，8），以AB為斜邊作等腰直角△ABC，則點C坐標(biāo)為（6，6）和（-2，2）．

Answer 1

分析 分兩種情況：（1）如圖①，點C在第一象限，（2）如圖②，點C在第二象限．針對每一種情況，分別畫出圖形，再利用全等求出距離，從而得出C點坐標(biāo)．

解答 解：分兩種情況：
（1）如圖1所示，過點C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E．
∵∠BCA=∠DCE=90°，
在△BCD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠ABC}&{\;}\\{BCD=∠ACE}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（AAS），
∴AE=BD，CE=CD=OE，
∵AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{10}$，
由勾股定理得：CE²+（CE-4）²=AC²=40，
解得：CE=：6或CE=-2（不合題意舍去）．
則點C坐標(biāo)為（6，6）；
（2）如圖2所示，過點C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E．
∵∠BCA=∠DCE=90°，
在△BCD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠AEC}&{\;}\\{∠BCD=∠ACE}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（AAS），
∴AE=BD，CE=CD=OE，
∵AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{10}$，
由勾股定理得：CE²+（CE+4）²=AC²=40，
解得：CE=2，或-6（不合題意舍去）．
則點C坐標(biāo)為（-2，2）．
綜上可知點C坐標(biāo)為：（6，6）和（-2，2）．
故答案為：（6，6）和（-2，2）．

點評 考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；注意分類思想的運用，有一定的難度．