Question

11．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E，D是BC的中點(diǎn)，DE的延長線交CA的延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若sin∠P=$\frac{1}{3}$，PC=8，求⊙O的直徑；
（3）若$\frac{PE}{PD}=\frac{2}{3}$，求cos∠BAC值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OE，CE，求出DE=$\frac{1}{2}$BC=DC，推出∴∠DEC+∠OEC=∠DCE+∠OCE，求出∠ACB=∠OED=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）在RT△POE中，由sin∠P=$\frac{OE}{PO}$=$\frac{1}{3}$，得出PO=3OE，設(shè)圓的半徑為R，根據(jù)PC=8，得出4R=8，從而求得R=2，即可求得⊙O的直徑為4．
（3）作EF⊥AC于F，得出EF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出$\frac{EF}{DC}$=$\frac{PE}{PD}$=$\frac{2}{3}$，求得$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，根據(jù)EF∥BC，得出$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，從而求得AF=$\frac{2}{3}$R，OF=$\frac{1}{3}$R，然后根據(jù)勾股定理AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，根據(jù)直角三角形的余弦函數(shù)從而求得cos∠BAC=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 （1）證明：連結(jié)OE，CE，
∵AC是直徑，
∴∠AEC=90°，
∴∠BEC=90°，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴∠DEC=∠DCE．
∵OC=OE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠DEC+∠OEC=∠DCE+∠OCE，
即∠ACB=∠OED，
∵∠ACB=90°，
∴∠OED=90°，
又∵OD是半徑，
∴DE是⊙O的切線．
（2）解：在RT△POE中，sin∠P=$\frac{OE}{PO}$=$\frac{1}{3}$，
∴PO=3OE，
設(shè)圓的半徑為R，
∵PC=8，
∴4R=8，
∴R=2，
∴⊙O的直徑為4．
（3）解：作EF⊥AC于F，
∴EF∥BC，
∴$\frac{EF}{DC}$=$\frac{PE}{PD}$=$\frac{2}{3}$，
∵BC=2DC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∵EF∥BC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∵AC=2R，
∴AF=$\frac{2}{3}$R，
∴OF=R-$\frac{2}{3}$R=$\frac{1}{3}$R，
∴EF²=OE²-OF²=R²-（$\frac{1}{3}$R）²=$\frac{8}{9}$R²
∴AE=$\sqrt{E{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{\frac{8}{9}R}^{2}+（\frac{2}{3}R）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，
∴cos∠BAC=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{\frac{2}{3}R}{\frac{2\sqrt{3}}{3}R}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，圓周角定理的應(yīng)用，平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．