Question

9．如圖，△ABC≌△A′BC′，∠ABC=90°，∠A′=30°．（0°＜∠ABA′≤60°），A′C′與AC交于點(diǎn)F，與AB交于點(diǎn)E，連接BF．當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，則∠AB A′的角度為20°或40°．

Answer 1

分析 根據(jù)0°＜∠ABA′≤60°，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)FE=FB時(shí)，△BEF為等腰三角形；當(dāng)BE=FB時(shí)，△BEF為等腰三角形，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，可得BP=BQ，進(jìn)而得到∠PFB=∠QFB，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠FEB的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可得出∠ABA′的角度．

解答 解：如圖，當(dāng)FE=FB時(shí)，△BEF為等腰三角形，設(shè)∠FEB=∠FBE=α，
過(guò)B作BP⊥AC，BQ⊥A'C'，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，可得BP=BQ，

∴點(diǎn)B在∠PFQ的角平分線上，
∴∠PFB=∠QFB，
∵∠PFB是△ABF的外角，
∴∠PFB=∠A+∠FBE=30°+α，
∴∠QFB=30°+α，
∵△BEF中，∠QFB+∠FEB+∠FBE=180°，
∴30°+α+2α=180°，
解得α=50°，
∴∠ABA'=∠FEB-∠A'=50°-30°=20°；

如圖，當(dāng)BE=BF時(shí)，△BEF為等腰三角形，設(shè)∠FEB=∠BFE=α，
過(guò)B作BP⊥AC，BQ⊥A'C'，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，可得BP=BQ，

∴點(diǎn)B在∠PFQ的角平分線上，
∴∠PFB=∠QFB=α，
∵∠PFB是△ABF的外角，
∴∠FBE=∠PFB-∠A=α-30°，
∵△BEF中，∠QFB+∠FEB+∠FBE=180°，
∴α+α+α-30°=180°，
解得α=70°，
∴∠ABA'=∠FEB-∠A'=70°-30°=40°；
綜上所述，∠ABA′的角度為20°或40°．
故答案為：20°或40°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，得出BP=BQ，進(jìn)而得到點(diǎn)B在∠PFQ的角平分線上．