Question

7．如圖，直線y=kx+6與x軸分別交于E、F．點E坐標為（-8，0），點A的坐標為（-6，0）．
（1）求k的值；
（2）若點P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點，當點P運動過程中，試寫出三角形OPA的面積S與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）探究：當P運動到什么位置時，三角形OPA的面積為9，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由E點坐標代入可求得k的值；
（2）由P點坐標可表示出P到x軸的距離，則可表示出S與x之間的函數(shù)關系式，由P在第二象限可求得x的取值范圍；
（3）由三角形OPA的面積OA•|y_P|=9可求得P點縱坐標，即可求得P點的位置．

解答 解：
∵直線y=kx+6與x軸分別交于E、F．點E坐標為（-8，0），
∴0=-8k+6，解得k=$\frac{3}{4}$；

（2）如圖，過P作PB⊥x軸于點B，
∵k=$\frac{3}{4}$，
∴直線解析式為y=$\frac{3}{4}$x+6，
∵P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點，
∴y=$\frac{3}{4}$x+6，
∴PB=$\frac{3}{4}$x+6，
∵A（-6，0），
∴OA=6，
∴S=$\frac{1}{2}$OA•PB=$\frac{1}{2}$×6（$\frac{3}{4}$x+6）=$\frac{9}{4}$x+18，
∵點P在第二象限，
∴點B在線段OA上，
∵A（-8，0），
∴-8＜x＜0，
∴S與x的函數(shù)關系式為S=$\frac{9}{4}$x+18（-8＜x＜0）；
（3）∵S_△OPA=$\frac{1}{2}$OA•|y_P|=9，P（x，y），
∴$\frac{1}{2}$×6×|y|=9，解得y=3或-3，
當y=3時，代入y=$\frac{3}{4}$x+6中得，$\frac{3}{4}$x+6=3，
∴x=-4，
∴P點坐標為（-4，3）；
當y=-3時，代入y=$\frac{3}{4}$x+6中得，$\frac{3}{4}$x+6=-3，
∴x=-12，
∴P點坐標為（-12，-3）；
綜上可知，當P點運動到（-4，3）或（-12，-3）處，三角形OPA的面積為9．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積等知識．在（1）中注意利用函數(shù)圖象點的點的坐標滿足函數(shù)解析式可得到關于k的方程，在（2）中用x表示出P到x軸的距離是解題的關鍵，在（3）中求得P點的縱坐標是解題的關鍵，注意分兩種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．