Question

18．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，CE平分∠BCD交AB丁點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，且∠ABC=60°，AB=2BC，連接OE．下列四個(gè)結(jié)論：①∠ACD=30°；②S_△AOE=S_△OBE；③S_{平行四邊形ABCD}=AC•AD；④OE：OA=1：$\sqrt{3}$，其中結(jié)論正確的序號(hào)是①②③④．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等邊三角形，證得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；由AC⊥BC，得到S_?ABCD=AC•BC，故③正確，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=$\sqrt{3}$BC，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)得到OE=$\frac{1}{2}$BC，AE=BE，于是得到；②S_△AOE=S_△OBE；OE：AC=$\sqrt{3}$：6；故②④正確．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，
∴∠DCE=∠BCE=60°
∴△CBE是等邊三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；
∵AC⊥BC，
∴S_?ABCD=AC•BC，故③正確，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC，
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC，
∴OE：AC=$\frac{\frac{1}{2}BC}{\sqrt{3}BC}$，
∴OE：AC=$\sqrt{3}$：6，故③正確；
∵AE=BE，
∴S_△AOE=S_△OBE，故②正確；
故選：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△ABE是等邊三角形，OE是△ABC的中位線(xiàn)是關(guān)鍵．