Question

9．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊在AD的上邊作正方形ADEF，連接CF．
（1）觀察猜想：如圖1，當點D在線段BC上時，①BC與CF的位置關系為：BC⊥CF；②BC、CD、CF之間的數量關系為：CF=BC-CD．
（2）數學思考：如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，以上①②關系是否成立，請在后面的橫線上寫出正確的結論．①BC與CF的位置關系為：BC⊥CF；②BC、CD、CF之間的數量關系為：CF=CD-BC．
（3）如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GD，若已知AB=2$\sqrt{2}$，CD=$\frac{1}{4}$BC，請求出DG的長（寫出求解過程）．

Answer 1

分析 （1）①證出∠BAD=∠CAF，由SAS證明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=45°，證出∠ACF+∠ACB=90°，即可得出結論；
②由全等三角形的性質得出BD=CF，證出CF=BC-CD即可；
（2）①證出∠BAD=∠CAF，由SAS證明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，證出∠ACB+∠FCB=135°，得出∠FCB=90°，即可得出結論；
②由全等三角形的性質得出BD=CF，證出CF=CD-BC即可；
（3）由SAS證明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=45°，證出∠FCB=∠ACF+∠ACB=90°，得出CF⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得出AC=AB=2$\sqrt{2}$，在Rt△AGC中，得出CG=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，同理BC=4，CD=$\frac{1}{4}$BC=1，在Rt△DCG中，由勾股定理即可求出DG的長．

解答 （1）證明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
故答案為：BC⊥CF；

②由①△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∵BD=BC-CD，
∴CF=BC-CD，
故答案為：CF=BC-CD；

（2）解：①成立，②不成立；理由如下：
①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠FAC=90°，∠DAF=∠BAF+∠DAB=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠ACB+∠FCB=135°，
∴∠FCB=90°，
∴BC⊥CF，
故答案為：BC⊥CF；

②由①△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∵BD=CD-BC，
∴CF=CD-BC，
故答案為：CF=CD-BC；

（3）解：由題意得：∠BAC=∠FAD=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠FCB=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BC，
在Rt△ABC中，AC=AB=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AGC中，∵∠ACF=45°，
∴CG=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，
同理BC=4，
CD=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{4}$×4=1，
∴在Rt△DCG中，DG=$\sqrt{C{G}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．