Question

1．如圖，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點G，求證：BD+CE=BC．

Answer 1

分析 構(gòu)造全等三角形，然后利用互補判斷出∠CFG=∠CEG，得出△CFG≌△CEG即可．

解答 解：如圖，
∵∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點G，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCD，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠CBE+2∠BCD+60°=180°，
∴∠CBE+∠BCD=60°，
∵∠CBE+∠BCD+∠BGC=180°，
∴∠BGC=180°-（∠CBE+∠BCD）=120°，
∴∠DBE=120°，
∵∠A=60°，
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°，得∠ADC+∠AEB=180°，
在BC上截取BF=BD，
在△BDG和△BFG中$\left\{\begin{array}{l}{BD=BF}\\{∠DBG=∠FBG}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△BFG，
∴∠BDC=∠BFG，
∵∠BFG+∠CFG=180°，
∴∠BDC+∠CFG=180°
∵∠BDC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=∠CFG，
∴∠CFG+∠AEB=180°，
∵∠AEB+∠CEG=180°，
∴∠CFG=∠CEG，
在△CFG和△CEG中$\left\{\begin{array}{l}{∠CFG=∠CEG}\\{∠FCG=∠ECG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△CEG，
∴CF=CE，
∴BC=BF+CF=BD+CE．

點評 此題是三角形全等的判定和性質(zhì)，主要考查了同角或等角的補角相等，鄰補角，三角形和四邊形的內(nèi)角和，角平分線的定義，解本題的關(guān)鍵是∠CFG=∠CEG，難點是構(gòu)造全等三角形．