Question

9．如圖，已知，點P在∠AOB的內，且點P與點N關于OA對稱，PM交OA于點Q，點P與點N關于OB對稱，PN交OB于點N，MN交OA于點E，MN交OB于點F．
（1）若MN=10，求△PEF的周長；
（2）若∠MPN=130°，則∠AOB=50°，∠EPF=80°．
（3）若PM=PN，求證：點P在∠AOB的平分線上．

Answer 1

分析 （1）由軸對稱的性質可知ME=PE，F(xiàn)N=PF，從而得到三角形的周長等于MN；
（2）由軸對稱的性質可知∠OQP=90°，∠ORP=90°；先求得∠M+∠N=50°，從而得到∠MPE+∠FPE=50°；
（3）根據到角兩邊距離相等的點在角平分線上進行證明即可．

解答 解：如圖連接PE、FP．

（1）∵點P與點M關于OA對稱，
∴ME=PE．
同理：FN=PF．
∴△PEF的周長=EP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=10；
（2）∵點P與點M關于OA對稱，
∴∠OQP=90°．
同理：∠ORP=90°．
由四邊形的內角和是360°可知；∠AOB=360°-∠OQP-∠ORP-∠QPR=360°-90°-90°-130°=50°；
∵∠MPN=130°，
∴∠M+∠N=50°．
∵ME=EP，F(xiàn)N=FP，
∴∠M=∠MPE，∠N=∠FPE．
∴∠EPF=130°-50°=80°．
故答案為；50°；80°．
（3）∵PN=PM，Q、R為MP，PN的中點，
∴PQ=PE．
又∵PQ⊥QA，PR⊥OB，
∴OP平分∠AOB．

點評 本題主要考查的是軸對稱的性質、多邊形的內角和、角平分線的判定，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．