Question

17．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為AC的中點，過C作⊙O的切線交OD的延長線于E，交AB的延長線于F，連EA．
（1）求證：EA與⊙O相切；
（2）若CE=3，CF=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OC，則∠OCE=90°，由D為中點可知EO⊥AC，則有CE=AE，可得∠ECA=∠EAC，且∠OCA=∠OAC，利用角的和差可求得∠EAO=90°，可知EA為切線；
（2）連接BC，可證明△FBC∽△FCA，再由切線長定理可知CE=AE，在Rt△AEF中可求得AF=8，再利用線段的比可求得AB的長，可得半徑．

解答 （1）證明：如圖，連接OC，
∵EF為切線，
∴∠OCE=90°，
∵D為AC中點，
∴OE⊥AC，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC+∠EAC=∠OCA+∠ECA=90°，
即∠EAO=90°，
∴EA為⊙O的切線；

（2）解：連接BC，
∵AB為直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵EF為切線，
∴∠BCF+∠BCO=90°，且∠BCO=∠CBA，
∴∠BCF=∠CAF，
∴△BCF∽△CAF，
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{BF}{CF}$，
由（1）知EA為⊙O切線，則EA=EC=3，EF=EC+FC=5，
在Rt△AEF中，可求得AF=4，
∴$\frac{2}{4}=\frac{BF}{2}$，解得BF=1，
∴AB=AF-BF=3，
∴⊙O的半徑為$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查切線的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，在（2）中利用相似求得BF的長是解題的關(guān)鍵．