Question

6．如圖在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，且BD=2CD．
（1）如圖1，若∠BAC=90°，AB=AC=6，求AD；
（2）如圖2，若∠BAC=105°，∠CAD=30°，求$\frac{AD}{AC}$的值；
（3）如圖3，若∠BAC=120°，∠CAD=30°，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且∠ACE=75°，BE=2$\sqrt{6}$，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作DM⊥AB于M．易知△BDM是等腰直角三角形，可得BM=DM，由DM∥AC，推出$\frac{BD}{BC}$=$\frac{DM}{AC}$=$\frac{2}{3}$，推出DM=4，推出BM=DM=4，AM=2，在Rt△ADM中，根據(jù)AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$計(jì)算即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，作CM∥AD交BA的延長(zhǎng)線于M．首先證明AC=CM，由AD∥CM，可得$\frac{AD}{CM}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，由此即可解決問(wèn)題；
（3）作CM∥AD交BA的延長(zhǎng)線于M．只要證明AC=AE=AB，求出AB，即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）如圖1中，作DM⊥AB于M．

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴BM=DM，
∵DM∥AC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{DM}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴DM=4，
∴BM=DM=4，AM=2，
在Rt△ADM中，AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

（2）如圖2中，作CM∥AD交BA的延長(zhǎng)線于M

∵∠BAC=105°，∠DAC=30°，
∴∠BAD=75°，∠CAM=75°，
∵AD∥CM，
∴∠M=∠BAD=75°，
∴∠M=∠CAM，
∴AC=CM，
∵AD∥CM，
∴$\frac{AD}{CM}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{3}$．

（3）作CM∥AD交BA的延長(zhǎng)線于M．

∵∠BAC=120°，∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠M=90°，
∵∠ACE=75°，∠CAE=30°，
∴∠AEC=∠ACE=75°，
∴AC=AE，
在Rt△ACM中，設(shè)AM=a，則AC=2a，
∵AD∥CM，
∴AB：BM=BD：BC=2：3，
∴AB=2a=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABD=30°，
在Rt△ABE中，AB=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ABD中，AD=AB•tan30°=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．